Натуральні числа — це числа, які використовують для лічби предметів: один, два, три і так далі. В українській школі нуль до натуральних чисел не належить, а в міжнародному стандарті ISO 80000-2, теорії множин і математичній логіці — належить. Цю різницю варто знати, якщо доведеться працювати з іноземними підручниками чи технічною документацією.
Базове визначення
Натуральні числа — це числа, які виникають природним шляхом під час лічби предметів. Термін походить від латинського “natura” («природа»): саме ці числа першими з’явилися в математиці як відповідь на найпростішу практичну потребу — порахувати кількість реальних об’єктів. Три пальці чи три яблука — це те кількісне уявлення, яке лежить в основі поняття натурального числа.
Основні властивості натурального ряду
Українська шкільна програма виділяє кілька ключових властивостей натуральних чисел.
Найменше число і відсутність найбільшого
За українською шкільною традицією натуральний ряд починається з одиниці, і вона вважається найменшим натуральним числом. Найбільшого натурального числа не існує: до будь-якого числа завжди можна додати одиницю і отримати ще більше, тому ряд нескінченний.
Кожне число має наступника і, крім одиниці, попередника
Для кожного натурального числа існує рівно одне наступне за ним число, більше на одиницю. Для кожного числа, окрім одиниці, існує й попереднє, менше на одиницю. На цьому побудований сам принцип лічби: 10, 11, 12 йдуть одне за одним, і кожне наступне більше за попереднє рівно на одиницю.
Впорядкованість
Будь-які два натуральні числа завжди можна порівняти між собою: одне з них або більше, або менше за інше, або вони рівні. Ця властивість дає змогу впорядкувати числа в ряд і виконувати арифметичні дії за чіткими правилами.
Чи є нуль натуральним числом
Єдиної світової угоди тут немає: відповідь залежить від традиції.
Українська шкільна традиція
В українській системі освіти нуль не вважають натуральним числом, бо він не позначає кількості реальних предметів, як три чи п’ять. Нуль разом із натуральними числами утворює множину цілих невід’ємних чисел.
Міжнародний і математичний підхід
У міжнародному стандарті ISO 80000-2, а також у теорії множин і математичній логіці нуль включають до натуральних чисел. У теоретико-множинному підході натуральні числа будуються, починаючи з нуля як позначення порожньої множини, а кожне наступне число визначається через попереднє. У такій системі нуль посідає перше місце в ряду натуральних чисел.
Чому це практично важливо знати
Якщо студент звик до українського шкільного означення і потім бачить в іноземному підручнику, науковій статті чи документації, що нуль зарахований до натуральних чисел, це може здатися помилкою. Насправді це інша, так само коректна конвенція. Щоб уникнути неоднозначності, автори часто прямо уточнюють, яку множину мають на увазі: з нулем чи без нього.
Місце натуральних чисел серед інших числових множин
Натуральні числа — найпростіша і історично перша сходинка ширшої числової системи.
Цілі числа
Якщо до натуральних чисел додати нуль (за українською традицією) і від’ємні числа, отримуємо множину цілих чисел. Тобто натуральні числа є підмножиною цілих.
Раціональні та дійсні числа
Подальше розширення додає дроби, утворюючи раціональні числа, а потім і числа, які неможливо точно виразити дробом, наприклад корінь із двох чи число пі, — так утворюється множина дійсних чисел. Натуральні числа залишаються найвужчою підмножиною в цій системі.
Десятковий запис і розряди
Для запису натуральних чисел у десятковій системі числення використовують десять цифр — від нуля до дев’яти. Число, записане однією цифрою, називають одноцифровим, двома цифрами — двоцифровим і так далі. Для зручності читання великі числа розбивають на групи по три цифри, рахуючи справа наліво, що полегшує вимову мільйонів чи мільярдів.
Короткий історичний контекст
Потреба рахувати предмети виникла ще в доісторичні часи, задовго до появи писемності. Дослідження мов показують, що спочатку різні предмети могли рахувати по-різному, без єдиного абстрактного поняття числа, і лише поступово люди дійшли розуміння, що “три людини” і “три озера” мають спільне — саму кількість, незалежну від природи об’єктів. Стародавні єгиптяни вже близько 3000 року до нашої ери використовували натуральні числа для обміру земельних ділянок і обліку врожаю.
